ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 9°A

CONTINÚA CON ESTA PARTE DE LA TEORÍA Y ESTÚDIALA.

Ahora podemos enunciar una definición más formal:

Una función ( f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x) , de un conjunto Y (codominio) .

Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X .

Usualmente X e Y son conjuntos de números.

Generalizando, si se tiene una función f , definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota

f : A -----> B  (o, usando X por A e Y por B    f : X -----> Y) o f(x) = x

Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la función y B es el codominio o conjunto de llegada.

f(x) denota la imagen de x bajo f , mientras que x es la preimagen de f(x) .

En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es la preimagen del número 5.

El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.

Ejemplo 3

Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo".

Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos  dominio y recorrido.

Veamos:

A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B).

Dominio = {1, 2, 3}                 Recorrido = {4, 8, 12}

Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4 , 6, 8 , 10, 12 }

Aquí debemos recordar que toda función es una relación , pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes:

Si tenemos los conjuntos

A = {1 ; 2 ; 3 ; 4}, B = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}

Podemos establecer las relaciones

f = { (1 ; 2) ; (2 ; 3) ; (3 ; 4) ; (4 ; 5) }

g = { (1 ; 2) ; (1 ; 3) ; (2 ; 4) ; (3 ; 5) ; (4 ; 5) }

h = { (1 ; 1) ; (2 ; 2) ; (3 ; 3) } :

Está claro que f , g y h son relaciones de A en B , pero sólo f es una función (todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1 ; 2) y (1 ; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom ( h ) = {1 ; 2 ; 3} ≠ A (falta el 4).

Ejemplo 4

Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9},       Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}  y que la regla de correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz cuadrada".

Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y.

Veamos:

A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y (  ), pero a los números −4 y −1 no les corresponden elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relación no es función de X en Y.