ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 9°B

CONTINÚA CON ESTA PARTE DE LA TEORÍA EN EL CUADERNO Y ESTÚDIALA

Ejemplo 3

Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo".

Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos  dominio y recorrido.

Veamos:

A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B).

Dominio = {1, 2, 3}                 Recorrido = {4, 8, 12}

Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4 , 6, 8 , 10, 12 }

Aquí debemos recordar que toda función es una relación , pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes:

Si tenemos los conjuntos

A = {1 ; 2 ; 3 ; 4}, B = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}

Podemos establecer las relaciones

f = { (1 ; 2) ; (2 ; 3) ; (3 ; 4) ; (4 ; 5) }

g = { (1 ; 2) ; (1 ; 3) ; (2 ; 4) ; (3 ; 5) ; (4 ; 5) }

h = { (1 ; 1) ; (2 ; 2) ; (3 ; 3) } :

Está claro que f , g y h son relaciones de A en B , pero sólo f es una función (todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1 ; 2) y (1 ; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom ( h ) = {1 ; 2 ; 3} ≠ A (falta el 4).

Ejemplo 4

Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9},       Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}  y que la regla de correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz cuadrada".

Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y.

Veamos:

A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y (  ), pero a los números −4 y −1 no les corresponden elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relación no es función de X en Y.

Dominio y rango de una función

Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir,  son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x) .

Por ejemplo la función f(x) = 3x 2 – 5x está definida para todo número real ( x puede ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.
En cambio, la función  tiene como dominio todos los valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida.

Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los números reales para los cuales la función tiene sentido.

En el caso de la función  , el dominio de esta función son todos los números reales mayores o iguales a –3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero para que exista la raíz cuadrada.

Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo siguiente:

Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero.

Si la función es un polinomio; una  función  de  la  forma f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +...+ a n x n (donde a 0 , a 1 , a 2 ,..., a n son constantes y n un entero no negativo), el dominio está conformado por el conjunto de todos los números reales.

Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de cero.

El rango ( recorrido o ámbito ) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores están determinados además, por el dominio de la función.

Ejemplo

Identificar dominio y rango de la función 

Veamos:

Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para los cuales x – 2 ≥ 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son mayores o iguales a 2.

El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero; puesto que al reemplazar los valores del dominio se obtienen únicamente valores positivos bajo la función f .